Logika Matematika

-->

MATEMATIKA SMA KELAS X SEMESTER 2

 

LOGIKA MATEMATIKA

Untuk : Minde

(SMA St.Maria Yogyakarta)

Disiapkan Oleh : Agustian Tatogo

A.    LOGIKA

1.      Definisi

v  Pernyataan/proposisi adalah kalimat  yang bernilai benar atau salah tetapi tidak kedua-duanya.

Contoh:

v  3 adalah bilangan prima = Benar

v  3 adalah bilangan bulat  = Salah

v  Kalimat terbuka adalah kalimat yang masih mengandung variabel, sehingga belum dapat    ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah). Kalimat terbuka tersebut dapat diubah menjadi bentuk pernyataan, jika variabelnya diganti dengan suatu konstanta.

 Contoh :

F Kalimat terbuka : x + 5 = 9

Jika variabelnya diganti dengan 4 maka 4 + 5 = 9 (pernyataan benar)

F Jika variabelnya diganti dengan 7 maka 7 + 5 = 13 (Pernyataan salah)

v  Beberapa istilah yang perlu diketahui.

v  Variabel

Huruf x disebut variable. Sebuah variable mewakili sembarang anggota dalam semesta pembicaraan ( himpunan pengganti ).

Contoh:

x² + 3x – 4 = 0

v  Konstanta

Pada kalimat  ”x² + 3x - 4 = 0 ”, bilangan-bilangan 1 ,  3 , -4 dan 0 disebut konstanta. Suatu konstanta hanya mewakili anggota tertentu dalam semesta pembicaraan.

2.      Pernyataan Majemuk

v  Apabila suatu pernyataan terdiri lebih dari satu pernyataan maka diantara satu pernyataan dengan pernyataan lainnya dibutuhkan suatu kata penghubung sehingga diperoleh suatu pernyataan majemuk.

v  Untuk Logika matematika ada 5 macam penghubung pernyataan yaitu ingkaran (negasi) (tidak), konjungsi (dan), disjungsi (atau),implikasi(jika…maka…) dan biimplikasi (jika dan hanya jika).

Operasi Logika	Penghubung	Lambang
Ingkaran	Tidak, non	~ atau -
Konjungsi	Dan
Disjungsi	Atau
Implikasi	Jika….maka….
Biimplikasi	Jika dan hanya jika

Ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi disebut operasi dalam logika.        Simbol-simbol dari operasi dalam logika diberikan dalam tabel berikut.

a.      Ingkaran atau Negasi atau Penyangkalan

 Jika diketahui p maka ingkarannya adalah  atau ¬p, maka  dibaca “tidak p” atau  “bukan p” atau “tidak benar p”.

   Contoh:

   p: 4 adalah bilangan prima

   Jawab:

   : tidak benar bahwa 4 adalah bilangan prima.

    4 bukan bilangan prima.

   Tabel nilai kebenaran

p	~ p
B S	S B

b.      Operasi Konjungsi

Operasi konjungsi merupakan operasi biner (operasi yang dikenakan pada dua pernyataan) yang dilambangkan dengan tanda “”. Dengan operasi ini dua pernyataan dihubungkan dengan kata “ dan “.

Jika p dan q dua pernyataan , maka pq bernilai benar jika p dan q keduanya bernilai benar, sebaliknya pq bernilai salah jika salah satu dari p atau q bernila  salah atau keduanya salah.

Tabel nilai kebenaran dari operasi konjungsi.

p	q	pq
B B S S	B S B S	B S S S

c.       Operasi Disjungsi

Operasi disjungsi juga merupakan operasi biner yang dilambangkan dengan tanda  ””. Operasi ini menggabungkan dua pernyataan menjadi satu dengan kata hubungan “atau”.

Jika p dan q dua pernyataan maka pq bernilai benar jika p dan q keduanya bernilai benar atau salah salah satu dari p atau q bernilai benar, sebaliknya pq bernilai salah jika keduanya bernilai salah.     

      

Tabel nilai kebenaran Disjungsi

p	q	pq
B B S S	B S B S	B B B S

d.      Operasi Implikasi (Kondisional)

Operasi implikasi (kondisional) adalah operasi penggabungan dua pernyataan yang menggunakan kata hubung “ jika …. Maka ….” Yang dilambangkan “ “.  Implikasi dari pernyataan p dan q ditulis  pq dan dibaca “ jika p maka q”. Pernyataan bersyarat pq juga dapat dibaca “ p hanya jika q” atau “ p adalah syarat cukup bagi q atau “ q adalah syarat perlu bagi p”.

Dalam pernyataan pq

p disebut hipotesa / anteseden / sebab

q disebut koklusi / konequen / akibat

Jika p dan q dua buah pernyataan maka pq salah jika p benar dan q  salah, dalam kemungkinan lainnya pq benar.

Tabel nilai kebenaran operasi implikasi

p	q	pq
B B S S	B S B S	B S B B

e.      Operasi Biimplikasi (Bikondisional)

Biimplikasi yaitu pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung  “……jika dan hanya jika …..” dinotasikan  “” . Biimplikasi dari pernyataan p dan q ditulis  p  q  dibaca p jika dan hanya jika q.

Pernyataan  p  q  dapat juga dibaca :

1)   p equivalent q

2)   p adalah syarat perlu dan cukup bagi q

Jika  pdan q dua buah pernyatan maka  p  q  benar bila kedua pernyataan tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama, sebaliknya p  q  salah bila salah satu salah , atau salah satu benar .

Tabel nilai kebenaran operasi Biimplikasi.

p	q	pq
B B S S	B S B S	B S S B

3. Nilai Kebenaran Majemuk

F Dari pernyataan-pernyataan tunggal  p,  q,  r,  . . . dan dengan menggunakan operasi-opersi pernyataan  negasi (~), konjungsi (), disjungsi (), implikasi () dan biimplikasi () dapat disusun suatu pernyataan majemuk yang lebih rumit.

Contoh :

        1)  ~( p  ~q)

              2)  ~

         3) 

F Nilai kebenaran pernyataan majemuk seperti itu dapat ditentukan dengan menggunakan pertolongan tabel kebenaran dasar untuk negasi, konjungsi, disjungsi , implikasi dan biimplikasi yang telah dibahas di depan.Untuk memahami cara-cara menentukan nilai  kebenaran pernyataanmajemuk yang lebih rumit ,perhatikan contoh berikut.

Contoh

          1: Tentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk  ~ ( p  ~q ).

                            Jawab  :  

           

p	q	~q	( pq )	~ ( p  q )
B B S S	B S B S	S B S B	B B S B	S S B S

Jadi nilai kebenaran pernyataan majemuk  ~ ( p  ~q ) adalah  S  S B S

4. Mendeskripsikan Invers, Konvers Dan Kontraposisi

v  Dari suatu pernyataan bersyarat  “ p q ” yang diketahui dapat dibuat pernyataan lain sebagai berikut :

1)       q   p    disebut pernyataan Konvers dari p q

2)      ~p  ~q  disebut pernyataan Invers dari p q

3)      ~q  ~p  disebut pernyataan Kontraposisi dari p q

v  Untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponen p dan q, hubungan nilai kebenaran konvers, invers, dan kontraposisi dengan implikasi semula, dapat ditunjukkan dengan memakai tabel kebenaran .

            Tabel hubungan nilai kebenaran q   p, ~p  ~q , ~q  ~p  dengan  p q

				Implikasi	Konvers	Invers	Kontraposisi
p	q	~p	~q	p q	q   p	~p  ~q	~q  ~p
B	B	S	S	B	B	B	B
B	S	S	B	S	B	B	S
S	B	B	S	B	S	S	B
S	S	B	B	B	B	B	B

                    Dari tabel diatas ternyata :

                    Suatu implikasi yang salah konversnya benar, tetapi implikasinya yang benar.

5. Negasi Pernyataan Majemuk

Untuk menentukan negasi dari pernyataan majemuk dapat digunakan sifat-sifat negasi pernyataan majemuk pada tabel berikut ini:

Operasi	Lambang	Negasi
Konjungsi
Disjungsi
Implikasi
Biimplikasi		atau

Contoh : Tentukan negasi dari pernyataan majemuk berikut !

6. Menerapkan Modus ponens, modus tollens dan prinsip silogisme Dalam Menarik Kesimpulan

F Dasar-dasar logika matematika yang telah kita pelajari pada subbab terdahulu akan diterapkan lebih lanjut dalam proses penarikan kesimpulan . Suatu proses penarikan kesimpulan terdiri atas beberapa pernyataanyang diketahui (disebut premis), Kemudian dengan memakai prinsip logika dapat diturunkan suatu pernyataan baru yang ditarik dari premis-premis semula (disebut kesimpulan / konklusi). Penarikan seperti itu disebut argumentasi.

F Jika konjungsi dari premis-premis berimplikasi konklusi maka argumentasi itu dikatakan berlaku atau sah. Sebaliknya, kalau konjungsi dari premis-premis tidak berimplikasi konklusi maka argumentasi itu dikatakan tidak sah. Jadi suatu argumentasi dikatakan sah apabila premis-premisnya benar maka konklusinya juga benar.

F Dalam subbab ini kita akan mempelajari beberapa cara penarikan kesimpulan, diantaranya adalah Modus Ponens, Modus Tollens, dan Silogisme.

a.      Modus Ponens

      Jika  benar dan p benar maka q benar.

Skema argumen dapat ditulis sebagai berikut :

    . . . . . . premis 1

p              . . . . . . premis 2

          . . . . .  kesimpulan / konklusi

      Dalam bentuk implikasi, argumentasi tersebut dapat dituliskan sebagai . Argumentasi ini dikatakan sah kalau pernyataan implikasi  merupakan tautologi. Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya.

       Tabel nilai kebenaran dari

p	q
B	B	B	B	B
B	S	S	S	B
S	B	B	S	B
S	S	B	S	B

 Dari tabel pada kolom (5) tampak bahwa  merupakan tautologi, jadi argumen tersebut sah.

b.      Modus Tollens

      Jika  benar dan  benar maka p benar

Skema argumen dapat ditulis sebagai berikut:

 . . . . . premis 1

~q        . . . . . premis  2

 

    ~p    . . . . . . kesimpulan / konlusi

    

      Dalam bentuk implikasi, modus tollens dapat dituliskan sebagai

, sah atau tidaknya modus tollens dapat diuji dengan tabel kebenaran sebagai berikut !

       

Tabel nilai kebenaran

      

p	q	~p	~q
B	B	S	S	B	S	B
B	S	S	B	S	S	B
S	B	B	S	B	S	B
S	S	B	B	B	B	B

   Dari tabel pada kolom 7 tampak bahwamerupakan tautologi. Jadi

       modus tollens merupakan argumentasi yang sah .

c.       Silogisme

      Dari premis-premis dan dapat ditarik konklusi . Penarikan kesimpulan seperti ini disebut kaidah silogisma . Skema argumnya dapat dinyatakan sebagai berikut :

 . . . . .       premis 1

 . . . . .       premis 2

. . .        kesimpulan / konklusi

      Dalam bentuk implikasi, silogisme dapat dituliskan sebagai  sah atau tidaknya silogisme dapat diuji dengan tabel kebenaran sebagai berikut :

Tabel nilai kebenaran .

p	q	r
B	B	B	B	B	B	B	B
B	B	S	B	S	S	S	B
B	S	B	S	B	B	S	B
B	S	S	S	B	S	S	B
S	B	B	B	B	B	B	B
S	B	S	B	S	B	S	B
S	S	B	B	B	B	B	B
S	S	S	B	B	B	B	B

Dari tabel pada kolom (8) tampak bahwa  merupakan

tautologi. Jadi silogisme merupakan argumentasi yang sah.

7. Kalimat Berkuantor

Pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang terdapat kuantitas atau jumlah, antara lain : semua, beberapa, setiap, ada dan sebagainya. Kuantor di bagi dua yaitu kuantor universal (umum) dan kuantor eksistensial (khusus).

a.      Kuantor Universal

      adalah suatu pernyataan yang biasanya terdapat kata semua, setiap, atau tiap-tiap. Kuantor universal ditulis dengan lambang "x, dibaca “untuk semua x atau setiap x berlaku…”.

Jika P(x) kalimat terbuka, maka ("x). P(x) berarti untuk semua x berlaku P(x).

Pernyataan kuantor universal mempunyai nilai :

      Benar, jika pernyataan tersebut benar untuk semua semesta yang dibicarakan.

      Salah, jika terdapat sekurang-kurangnya ada satu anggota semesta yang menyebabkan pernyataan salah.

b.    Kuantor Eksistensial

      Eksis adalah kata sifat yaitu keberadaan. Kuantor Eksistensial adalah suatu pernyataan dimana kuantitas atau jumlah menunjukkkan keberadaan. Pada kuantor eksistensial biasanya terdapat kata beberapa, terdapat, ada, atau sekurang-kurangnya satu. Kuantor eksistensial ditulis dengan lambang $x, dibaca “ ada suatu x sehingga berlaku …”. Jika P(x) kalimat terbuka, maka ($x) P(x) berarti ada x sehingga berlaku P(x).

Pernyataan kuantor eksestensial mempunyai nilai :

            Benar, jika sekurang-kurangnya ada satu anggota semesta menyebabkan pernyataan benar.

      Salah, jika tidak ada satupun anggota semesta menyebabkan pernyataan benar.

8.    Pembuktian Sifat Matematika

a.    Pembuktian langsung

               Pada pembuktian langsung, hal-hal yang diketahui tentang teorema diturunkan secara langsung dengan teknik tertentu hingga ditarik kesimpulan yang diinginkan. Penarikan kesimpulan dengan Modus Ponens dan Silogisme adalah contoh dari pembuktian langsung.

         Contoh :

1.   Buktikan bahwa 2 merupakan akar persamaan kuadrat x² + 2x – 8 = 0

2.   Buktikan bahwa untuk semua bilangan genap n antara 3 dan 31, n dapat dinyatakan sebagai jumlah 2 bilangan prima.

3.   Buktikan, untuk sembarang bilangan, riil x, jika |x| > 3, maka x² > 9

b.   Pembuktian Tak Langsung

               Dengan metode pembuktian tak langsung, fakta-fakta yang ada tidak digunakan secara langsung untuk menarik suatu kesimpulan dan bukti-bukti di mulai dari hal-hal lain.

         Pada bab ini dibahas 2 macam pembuktian tak langsung yaitu Kontradiksi dan Kontraposisi.

1)    Kontradiksi

      Adalah suatu pernyataan yang selalu salah, apapun nilai kebenaran dari komponen komponennya.

      Misalkan : Untuk membuktikan p, maka ingkarannya adalah ~p, kemudian dilakukan suatu kontradiksi sehingga menjadi ~(~p) = p.

      Langkah-langkah :

v  Tentukan ingkaran kalimat yang akan dibuktikan

v  Untuk membuktikan bahwa suatu pernyataan benar maka harus dibuktikan ingkarannya bernilai salah.

2)    Kontraposisi

      Misalkan : Akan dibuktikan implikasi          p Þ q     Benar

                                   Maka dibuktikan kontraposisi  ~q Þ ~p   Benar

      Jika kontraposisinya benar maka implikasinya juga,

            karena p Þ q º ~q Þ ~p

3)    Induksi Matematika

Barisan aritmetika : 2, 4, 6, …, 2n

Jumlah barisan aritmetika : 2 + 4 + 6 + …+ 2n = n² + n

Notasi sigma : 2 + 4 + 6 + … + 2n =  2i

Rumus umum di atas dapat pula dibuktikan dengan Induksi Matematika berlaku untuk semua n bilangan asli.

Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang didefinisikan dalam bilangan asli n.

Langkah-langkah :

1)   Basis

Sebagai basis, diambil n = 1 dan harus dibuktikan P(1) benar, karena akan dibuktikan kebenarannya pernyataan P(n) untuk n > 1

2)   Langkah Induksi

Ambil n = k, jika P(k) benar, maka P(k + 1) benar